Continuidad y funciones de variables conplejas

Continuidad

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función

si tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en Xo
si y sólo si

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función; f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además coinciden con f(x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

Existe f(x1):

existe el límite por la izquierda:

existe el límite por la derecha:

El límite por la derecha por la izquierda y el valor de la función coinciden:

Es decir: el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad de una función en un intervalo {a;b}:
Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
f es continua en un intervalo I ⇔

Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.
La función anterior es continua tanto en [-6, 1) como en (1, 6].

Algunas funciones continuas importantes

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:
La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:
E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitario
Función signo

Funciones de variable compleja

Definición
Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.
Cuando la variable es un número complejo, al función se llama función de variable compleja.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

Gráfica
Dada una función de variable compleja, w = f(z), no es posible representar, a la manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z) correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con la función.
Esta forma de representar la función se puede entender la función (f) como la transformación que se produce al aplicar a los puntos de origen la función.

Funciones
Sea la función w = Az, en el que A es una constante compleja y z una variable compleja.
Expresando A y z en la forma exponencial:
A = a eia z = r eib
Entonces w = ar ei(a + b)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que la distancia de los puntos z al origen de coordenadas ha sido aumentada o disminuido por el factor a y girados al rededor del origen un ángulo a.
Sea la función w = z + A.
Expresando A y z en forma binaria:
A = a1 + ia2z = z1 + iz2
Entonces w = (a1 + z1) + i(a2 + z2)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que los puntos z han sido desplazados según el vector A.
Sea la función w = 1/z .
Cuando aplicamos esta función a la recta x = c obtenemos la circunferencia
(u - 1/2c)2 + v2 = (1/2c)2.
Cuando aplicamos esta función a la recta y = c obtenemos la circunferencia (v - 1/2c)2 + u2 = (1/2c)2.
Si aplicamos la función w = 1/z a las circunferencias anteriores obtendremos las rectas correspondientes.

numeros complejos

Definición

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que R pertenecen C . Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:

i2 = − 1

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.

Plano de los números complejos:

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Valor absoluto, conjugado y distancia:

Valor absoluto:

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces z = r.
Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = z - w y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos

Conjugado:

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Geometría y operaciones con complejos:

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 · z2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la una transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º.

Soluciones de ecuaciones polinómicas:

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Análisis complejo:

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de Matemática aplicadamatemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales. de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

Aplicaciones:

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma.

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

Representaciones alternativas de los números complejos

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. Una especialmente elegante interpreta cada complejo como una matriz 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano. Cada una de estas matrices tiene la forma

con números reales a y b. La suma y el producto de dos matrices queda de nuevo de esta forma. Cualquier matriz no nula es invertible, y su inverso es de nuevo de esta forma. Por consiguiente, las matrices de esta forma son un cuerpo. En efecto, este es exactamente el cuerpo de los complejos. Cualquier matriz puede ser escrita:

Lo cual sugiere que se puede identificar la unidad con la matriz

y la unidad imaginaria

ic est, una rotación de 90 grados. ¡Nos damos cuenta de que el cuadrado de esta matriz es ciertamente igual a -1!
El valor absoluto de un complejo expresado como una matriz es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz. Si vemos la matriz como una transformación del plano, entonces la transformación rota puntos con un ángulo igual al argumento del complejo y escala multiplicando por un factor igual al valor absoluto del complejo. El complejo conjugado de z es la transformación con la misma rotación dispuesta por z pero en sentido inverso, y escala de la misma manera que z; esto puede ser descrito por la traspuesta de la matriz correspondiente a z.