Continuidad y funciones de variables conplejas

Continuidad

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función

si tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en Xo
si y sólo si

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función; f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además coinciden con f(x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

Existe f(x1):

existe el límite por la izquierda:

existe el límite por la derecha:

El límite por la derecha por la izquierda y el valor de la función coinciden:

Es decir: el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad de una función en un intervalo {a;b}:
Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
f es continua en un intervalo I ⇔

Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.
La función anterior es continua tanto en [-6, 1) como en (1, 6].

Algunas funciones continuas importantes

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:
La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:
E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitario
Función signo

Funciones de variable compleja

Definición
Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.
Cuando la variable es un número complejo, al función se llama función de variable compleja.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

Gráfica
Dada una función de variable compleja, w = f(z), no es posible representar, a la manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z) correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con la función.
Esta forma de representar la función se puede entender la función (f) como la transformación que se produce al aplicar a los puntos de origen la función.

Funciones
Sea la función w = Az, en el que A es una constante compleja y z una variable compleja.
Expresando A y z en la forma exponencial:
A = a eia z = r eib
Entonces w = ar ei(a + b)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que la distancia de los puntos z al origen de coordenadas ha sido aumentada o disminuido por el factor a y girados al rededor del origen un ángulo a.
Sea la función w = z + A.
Expresando A y z en forma binaria:
A = a1 + ia2z = z1 + iz2
Entonces w = (a1 + z1) + i(a2 + z2)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que los puntos z han sido desplazados según el vector A.
Sea la función w = 1/z .
Cuando aplicamos esta función a la recta x = c obtenemos la circunferencia
(u - 1/2c)2 + v2 = (1/2c)2.
Cuando aplicamos esta función a la recta y = c obtenemos la circunferencia (v - 1/2c)2 + u2 = (1/2c)2.
Si aplicamos la función w = 1/z a las circunferencias anteriores obtendremos las rectas correspondientes.